L'effet de peau dans les conducteurs cylindriques et rectangulaires : courants de Foucault et encombrement de courant

Un courant variable dans le temps a une distribution non uniforme sur la section transversale du conducteur. Pour approximer la résistance haute fréquence d'un conducteur, nous pouvons supposer que l'ensemble du courant circule uniformément dans une couche d'une profondeur de peau juste en dessous de la surface du conducteur. Cette approximation est en réalité réalisée pour un cas particulier où le conducteur est un demi-espace.

En pratique, les conducteurs réels ont des dimensions finies et peuvent avoir une section circulaire ou rectangulaire. La question qui se pose est de savoir si les résultats obtenus pour un demi-espace conducteur peuvent être appliqués à d'autres types de fils.

Nous pouvons résoudre les équations de Maxwell pour un bon conducteur pour trouver l'équation différentielle suivante pour la densité de courant J :

$$\nabla ^2 J = j \omega \mu \sigma J$$

Si vous êtes rouillé sur les concepts de calcul vectoriel, le symbole intimidant ∇2 (Del au carré) est appelé l'opérateur laplacien. En termes simples, l'opérateur laplacien est une généralisation du concept de dérivée seconde dans des espaces à plus d'une dimension. Il est donné par :

$$\nabla ^2 = \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 }{\partial z^2}$$

L'équation 1 décrit la distribution du courant dans un bon conducteur. Elle est valable aussi bien pour un demi-espace conducteur que pour un fil de section circulaire. Cependant, les solutions que l’on obtient pour ces deux types de médias sont complètement différentes. Pour un demi-espace conducteur, la densité de courant est une simple fonction sinusoïdale à décroissance exponentielle (si l'on suppose qu'il s'agit d'une onde plane). Mais qu’en est-il d’un conducteur cylindrique ?

D'après votre expérience dans d'autres domaines de la physique impliquant une base cylindrique, vous avez peut-être deviné correctement que la réponse à l'équation 1 devrait inclure les fonctions de Bessel lorsque le fil a une section circulaire. Ce n’est pas une bonne nouvelle pour nous, ingénieurs, qui essayons toujours de développer un modèle simple pour différents phénomènes. Les fonctions de Bessel sont utiles pour modéliser un large éventail de problèmes de physique, depuis la conduction thermique dans un objet cylindrique jusqu'à la description des vibrations d'une fine membrane circulaire telle qu'une peau de tambour. Cependant, ils peuvent être difficiles à visualiser et sont évidemment beaucoup moins simples qu’une simple onde sinusoïdale à décroissance exponentielle.

En raison de la complexité de ces fonctions, nous n'entrerons pas dans les détails mathématiques de l'analyse et examinerons uniquement les résultats présentés dans le livre « Fields and Waves in Communication Electronics » de Simon Ramo. La figure 1 montre l'amplitude normalisée de la distribution du courant sur la section transversale d'un fil rond de 1 mm de diamètre à quatre fréquences différentes.

Le paramètre r0 dans le graphique ci-dessus désigne le rayon du fil. À une fréquence (f) de 1 kHz, la profondeur de la peau est environ 4,2 fois plus grande que le rayon du conducteur (ou de manière équivalente r0/δ = 0,239). Comme vous pouvez le constater, la répartition actuelle est presque uniforme dans ce cas.

À mesure que la fréquence augmente, la profondeur de la peau diminue et le rapport r0/δ augmente de 0,239 à 1 kHz à 7,55 à 1 MHz. Notez que même pour r0/δ=2,39, la densité de courant au centre du fil est presque la moitié de celle à la surface du conducteur. Ceci n'est pas cohérent avec la description simplifiée de l'effet de peau selon laquelle la densité de courant diminue à e-1 = 0,37 de sa valeur de surface à une profondeur de δ.

La figure 2 compare les distributions de courant réelles pour r0/δ=2,39 et r0/δ=7,55 avec la distribution en décroissance exponentielle de la densité de courant (qui correspond à la propagation des ondes dans un demi-espace conducteur). Comme vous pouvez le constater, les résultats du cas demi-espace peuvent être utilisés pour approximer la distribution réelle du courant dans un fil rond uniquement si le rayon de courbure du conducteur est beaucoup plus grand que la profondeur de la peau.

En règle générale, si tous les rayons de courbure et épaisseurs du conducteur sont au moins 3 à 4 fois supérieurs à la profondeur de la peau, nous supposons qu'un conducteur donné ressemble à un bloc semi-infini. Jusqu'à présent, dans cette série en deux parties, nous nous sommes appuyés sur la résolution des équations de Maxwell pour décrire certaines des caractéristiques les plus importantes de l'effet peau. Un aperçu plus profond (et peut-être plus utile) de cet effet peut être développé en notant comment la loi d'induction de Faraday peut produire des courants de Foucault à l'intérieur du conducteur. Forts de ces informations, nous pouvons mieux comprendre le comportement des différentes interconnexions.